Prasanna

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है। (2018)
हल:
ज्ञात है ∆ABC का कोण B समकोण है।

चित्र 7.20
चूँकि ∠B > ∠C तथा ∠B > ∠A (त्रिभुज में समकोण सबसे बड़ा होता है)
⇒ AC > AB तथा AC > BC (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
अतः समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ा होता है। इति सिद्धम् ।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में ∆ABC की भुजाएँ AB और AC को क्रमशः बिन्दुओं Pऔर ए तक बढ़ाया गया है। साथ ही ∠PBC < ∠QCB है। दर्शाइए कि AC > AB है।
हल:
चूँकि ∠PBC < ∠QCB (दिया है)

चित्र 7.21
⇒ ABC > ∠ACB (छोटे कोण का सम्पूरक बड़े कोण के सम्पूरक से बड़ा होता है)
अतः AC > AB. (त्रिभुज से बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में ∠ B < ∠A और ∠C < ∠D BN है। दर्शाइए कि-
AD < BC है।

चित्र 7.22
हल:
चूँकि ∆OAB में, ∠B < ∠A (दिया है)
⇒ AO < BO …(1) AD (∆ में छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है)
चूँकि ∆OCD में, ∠C < ∠D (दिया है)
⇒ OD ⇒ AO + OD < BO + OC – [समीकरण (1) और (2) से]
अतः AD < BC. (∵ AO + OD = AD एवं BO + OC = BC) इति सिद्धम् प्रश्न 4. AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि- ∠A >∠C और ∠B >∠D है।

चित्र 7.23
हल:
प्रश्नानुसार, AB < BC, AB < CD एवं AB < AD तथा CD > AB, CD > BC एवं CD > AD.
AC और BD को मिलाइए।
चूँकि ∆ABC में, BC > AB (∵ AB < BC दिया है) ⇒ ∠BAC > ∠BCA, (बड़ी भुजा के सामने का कोण) …(1)
तथा ∆ACD में, CD > AD (दिया है)
⇒ ∠CAD > ∠ACD (बड़ी भुजा के सामने का कोण) …(2)
⇒ ∠BAC + ∠CAD > ∠BCA + ∠ACD [समी. (1) और (2) से]
अतः ∠A > ∠C. इति सिद्धम् चूँकि
चूँकि ∆ABD में, AD > AB (दिया है)
⇒ ∠ABD > ∠ADB . (बड़ी भुजा का सम्मुख कोण) …(1)
तथा ∆BCD में, CD > BC (दिया है)
⇒ ∠DBC > ∠BDC (बड़ी भुजा का सम्मुख कोण) …(2)
⇒ ∠ABD + ∠DBC > ∠ADB+ ∠BDC [समी. (1) और (2) से]
अतः ∠B >∠D. इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में PR> PQ और PS कोण DPR को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध कीजिए कि – ∠PSR> ∠PSQ.

चित्र 7.24
हल:
चूँकि ∆POR में, PR > PQ
⇒ ∠Q >∠R (बड़ी भुजा का सम्मुख कोण) …(1)
दिया है : ∠OPS = ∠SPR (PS ∠QPR का समद्विभाजक दिया है) …(2)
अब ∠QPS + ∠Q+ ∠PSQ = ∠SPR + ∠R + ∠PSR = 180°
(त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग) ∠Q+ ∠PSQ = ∠R + ∠PSR [∵ ∠QPS = ∠SPR, समी. (2) से]
लेकिन ∠Q > ∠R [समीकरण (1) से]
⇒ ∠PSQ < ∠PSR अतः ∠PSR > ∠PSQ. इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिन्दु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखण्ड खींचे जा सकते हैं, उनमें लम्ब रेखाखण्ड सबसे छोटा होता है।

चित्र 7.25
हल:
ज्ञात है : रेखा AB के बाहर कोई बिन्दु P है। P से PM ⊥ AB खींचा गया है। AB पर एक अन्य कोई बिन्दु N है तथा PN को मिलाया गया है।
अब ∆PMN में, ∠PMN = 90°
⇒ ∠PMN > ∠PNM (समकोण A में समकोण सबसे बड़ा होता है)
⇒ PN > PM (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
⇒ PM < PN.
चूँकि रेखा पर N कोई या ऐच्छिक बिन्दु है।
अतः रेखा के बाहर किसी बिन्दु से रेखा पर जितने रेखाखण्ड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब सबसे छोटा होता है।  इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Solutions

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MP Board Class 9th English Book Solutions

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The Rainbow Textbook Special English Class 9th Solutions

You can download MP Board The Rainbow Textbook Special English Class 9th Solutions, Questions and Answers, Notes, Summary, Lessons: Pronunciation, Translation, Word Meanings, Textual Exercises.

• Chapter 1 Bharat Our Land
• Chapter 2 The Victory
• Chapter 3 Little Girls Wiser than Men
• Chapter 4 Past and Present
• Chapter 5 Dead Man’s Riddle
• Chapter 6 Arise, Awake!
• Chapter 7 The World is Too Much with Us
• Chapter 8 The Goal not Scored
• Chapter 9 The Mission-Agni
• Chapter 10 Polonious Advice
• Chapter 11 Grandpa Fights an Ostrich
• Chapter 12 The Poet and the Pauper
• Chapter 13 Stopping by Woods on a Snowy Evening
• Chapter 14 Old Blockhead repairs his House
• Chapter 15 How it all began
• Chapter 16 Where the Mind is without Fear
• Chapter 17 On Saying Please
• Chapter 18 The Never-Never Nest

The Rainbow Workbook Special English Class 9th Solutions

You can download MP Board The Rainbow Workbook Special English Class 9th Solutions and Answers.

• Chapter 1 Bharat Our Land
• Chapter 2 The Victory
• Chapter 3 Little Girls Wiser than Men
• Chapter 4 Past and Present
• Chapter 5 Dead Man’s Riddle
• Chapter 6 Arise, Awake!
• Chapter 7 The World is Too Much with Us
• Chapter 8 The Goal not Scored
• Chapter 9 The Mission-Agni
• Chapter 10 Polonious Advice
• Chapter 11 Grandpa Fights an Ostrich
• Chapter 12 The Poet and the Pauper
• Chapter 13 Stopping by Woods on a Snowy Evening
• Chapter 14 Old Blockhead repairs his House
• Chapter 15 How it all began
• Chapter 16 Where the Mind is without Fear
• Chapter 17 On Saying Please
• Chapter 18 The Never-Never Nest

MP Board Class 9th Special English Reading Skills

MP Board Class 9th Special English Reading Unseen Passages

• Unseen Passages Factual
• Unseen Passages Discursive
• Unseen Passages Literary

MP Board Class 9th Special English Writing Skills

• Short Composition with Guidance
• Notice Writing
• Message Writing
• Telegram Writing
• Postcard Writing
• Composition: Verbal Stimulus
• Composition: Visual Stimulus

MP Board Class 9th Special English Grammar

• Special English Grammar Type I
• Special English Grammar Type II
• Special English Grammar Type III
• Special English Grammar Type IV
• Special English Grammar Type V
• Special English Grammar Type VI

The Spring Blossom Textbook General English Class 9th Solutions

You can download MP Board The Spring Blossom Textbook General English Class 9th Solutions, Questions and Answers, Notes, Summary, Lessons: Pronunciation, Translation, Word Meanings, Textual Exercises.

• Chapter 1 O Light!
• Chapter 2 Kasturba Gandhi
• Chapter 3 The School for Sympathy
• Chapter 4 Today and Tomorrow
• Chapter 5 Fair Play
• Chapter 6 Advertisements
• Chapter 7 Am I a Child?
• Chapter 8 The Second Chance
• Chapter 9 The Welcome
• Chapter 10 Akbar and Birbal – Reunion
• Chapter 11 Ram Prasad ‘Bismil’ – The Great Martyr
• Chapter 12 King Vikram in Disguise
• Chapter 13 Bond of Love
• Chapter 14 Woodman, Spare that Tree
• Chapter 15 J.C. Bose
• Chapter 16 Cheemi: The Brave Girl
• Chapter 17 Noise

Objective Type Questions [Based on Textual Lessons]

MP Board Class 9th General English Reading Skills

MP Board Class 9th General English Reading Unseen Passages

• Important Extracts from Prose
• Important Extracts from Poems
• Unseen Passages

MP Board Class 9th General English Writing Skills

• Letter Writing: Informal and Formal Letters
• Note Making and Summarising
• Composition: Verbal / Visual Stimulus
• Essay Writing

MP Board Class 9th General English Grammar

• Subject-Verb Concord
• Tenses
• Passive Voice
• Reporting
• Modals
• Determiners
• Clauses
• Punctuation
• Prepositions
• Translation

MP Board Class 9th Special English Syllabus & Marking Scheme

Time: 3.00 Hours
Maximum Marks: 100

Unit Wise Weightage

Section	Topics	Marks
A	Reading Skills (Reading Unseen Passages)	30
B	Writing Skills	30
C	Grammar	15
D	Prescribed Text Book	25
	Total	100

Examination Specifications
Class – IX

On Paper 3 Hours
100 Marks

Section A: Reading (30 Marks, 54 Periods)

Three unseen passages with a variety of comprehension questions including 05 marks for word attach skill such as word formation and inferring meaning.

• About 200 words in length (8 Marks)
• About 200 words in length (8 Marks)
• About 300 words in length (14 Marks)

The total length of the three passages will be between 600 and 700 words.
The passages will include one of each of the following types.
Factual passage, e.g. instruction, description, report.
Discursive passage involving opinion e.g. argumentative, persuasive or interpretative text.
Literary passage, e.g. extract from fiction, drama, poetry, essay or biography
In the case of Poetry extract, the text may be shorter than 150 words.

Section B: Writing (30 Marks, 54 Periods)

Four Writing Tasks indicated below:

1. Controlled tasks where a student builds up a short composition with guidance. (5 Marks)
2. Short composition of not more than 50 words, e.g. a not, notice, message, telegram or short postcard. (5 marks.)
3. Composition in response to some verbal stimulus such as an advertisement, a notice, a newspaper clipping, a table, a diary extract notes, letter or other forms of correspondence. (10 Marks)
4. Composition response to some visual stimulus such as a diagram, a picture, a graph, a map, a cartoon or a flow chart. (10 Marks)

One of the longer (10 marks) compositions will draw on the thematic content of the Main Course Book.
At least one task will involve, the productions of a form of correspondence, e.g. a letter, postcard, note or notice.
One task will involve the production of a discursive text in which the student is required to express his/her point of view on the topic given.

Section C: Grammar (15 marks)

A variety of short questions involving the use of particular structures within a context (i.e. not in isolated sentences) Test types used will include, for example, gap-filling, cloze (gap filling exercise with blanks at regular intervals) sentence completion, sentence-reordering, editing, dialogue, Completion and sentence transformation.
Not all elements in the grammar syllabus can be included in the questions paper every year.
However, questions will be distributed over the following three broad areas: verb forms, sentences, structures and others.

Section D: Literature (25 Marks, 45 Periods)

1. Two extracts from different poems from the prescribed reader, each followed by two or three questions to test local and global comprehension of the set text. Each extract will carry 4 marks. (8 Marks)
2. One or two questions based on one of the drama texts from the prescribed reader to test local and global comprehension of the set text. An extract may or may not be used. (8 Marks)
3. One question based on one of the prose texts from the prescribed reader to test global comprehension and extrapolation beyond the set text. (4 Marks)
4. Extended questions based on one of the prose texts from the prescribed reader to test global comprehension and extrapolation beyond the set text. (8 Marks)
   Questions will test comprehension at different levels: literal inferential and evaluative.

Final Examination

This is a formal three-hour examination held at the end of Class IX and carries 100% marks. It tests all the reading and writing skills specified in the teaching/testing objectives, together with a representative sample of the Literature and Grammer objectives.

Book Prescribed:

1. Text Book The Rainbow with Supplementary Material.
2. Work Book The Rainbow

Compiled by M.P. Rajya Shiksha Kendra and Published by M.P. Text Book Corporation. Bhopal.

MP Board Class 9th General English Syllabus & Marking Scheme

Time: 3.00 Hours
Maximum Marks = 100

Unit wise Weightage

Section	Topics	Marks	Time
A	Reading Skills Reading and Comprehension	15	27 Periods
B	Writing Skills	20	36 Periods
C	Grammar	20	36 Periods
D	Prescribed Text Book	45	81 Periods

Examination Specifications

Section A: Reading (15 Marks)

A1, A2 and A3 three unseen passages of total 250 words with a variety of questions including 6 marks for vocabulary.
The prose passage will be factual (instructions, description, report etc), discursive (argumentative, interpretative, persuasive, etc) and literary (poetry, fiction, interview, biography, etc) in nature.

• Passage 1. 80 words (5 marks)
• Passage 2. 80 words (5 marks)
• Passage 3. 80 words (5 marks)

There will be questions for local comprehension besides questions on vocabulary and comprehension of higher-level skills such as drawing inferences and conclusions.

Section B: Writing (20 Marks)

B1. Letter writing: One letter based on provided verbal stimulus and context. (6 Marks)
Type of Letter: informal: personal such as to family and friends
Formal: letters of complaints, enquiries, requests, applications.

B2. Note making and summarising: (6 Marks)

• Students will be asked to make notes on the passage given (100 words) (3 Marks)
• The students will be asked to prepare a summary looking at the given notes. (3 Marks)

B3. Composition: A short writing task based on a verbal and/or visual stimulus (diagram, picture, graph, map, chart, table, flow chart etc) (80 words) (8 Marks)
OR
An essay in about 200 words on topics of day to day life.
After giving an example practice to students to write an original composition for two or three years, the option of ‘Essay’ may be eliminated.

Section C: Grammar and Translation (20 Marks)

A variety of short questions involving the use of particular structures within a context. Test Types used will include clauses, gap-filling, sentence completion, sentence re-ordering, editing, dialogue-completion and sentence transformation. The Grammar syllabus for this class will include the following areas for teaching.

1. Tenses (present with extension);
2. Modals (have to/had to, must, should, need, ought to and their negative forms);
3. Use of passive voice;
4. Subject-verb concord;
5. Reporting; (i) Commands and requests, (ii) Statements, (iii) Questions
6. Clauses: (i) Noun-clauses (ii) Adverb clauses of condition and time (iii) Relative clauses;
7. Determiners, and
8. Prepositions
9. Translation (from Hindi to English)
Note: No separate marks allotted for any of grammatical items listed above.

4. Section D: Text Book (45 Marks)

Prose 30 (Marks)

D.1 and D.2 – Two extracts from different prose lessons included in Text Book (approximately 100 words each) (5 × 2 = 10 Marks)
These extract chosen from different lessons will be literary and discursive in nature. Each extract will be of 5 marks. One mark in each extract will be for vocabulary. 4 marks in each passage will be used for testing local and global comprehension besides a question on interpretation.

D.3. One out of two questions: based on any one of the prose lesson from the textbook to be answered in about 50 to 80 words. (6 Marks)

D.4 (A) One out of two questions on drama text (local and global comprehension questions) (50-80 words) (6 Marks)
(B) One out of two questions on drama text in (25-30 words) (4 Marks)

D.5. Four objective type question based on Text. (4 Marks)

Poetry (15 Marks)

D.6. One out of two extracts from different poems from the prescribed reader, each followed by two or three questions to test the local and global comprehension of the set text. (3 Marks)

D.7. Two out of three short answer type questions on substance and ideas contained in the poems to be answered in about 20-25 words each. (6 Marks)

D.8. One out of two short answer type questions central idea of the poems. (4 Marks)

D.9. Objective text based on poetry. (2 Marks)

Book Prescribed:

1. Text Book – Spring Blossom
2. WorkBook – Spring Blossom

Compiled by M.P. Rajya Shiksha Kendra and Published by M.P. Text Book Corporation.

MP Board Class 9 Special English Blue Print of Question Paper

You can download MP Board Class 9th English Blueprint and Marking Scheme 2019-2020 in Hindi and English medium.

MP Board Class 9 General English Blue Print of Question Paper

MP Board Class 9 Special English Format of Question Paper Design

MP Board Class 9 General English Format of Question Paper Design

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MP Board Class 9th Social Science Solutions Chapter 4 भारत : अपवाह तन्त्र

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 पाठान्त अभ्यास

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

सही विकल्प चुनकर लिखिए

प्रश्न 1.
नदी अपने मार्ग के अन्त में निर्मित करती है (2009, 12)
(i) जल प्रताप
(ii) बाढ़ के मैदान
(iii) डेल्टा या एस्चुरी
(iv) गोखुर झील।
उत्तर:
(iii) डेल्टा या एस्चुरी

प्रश्न 2.
उत्तर भारत की नदियों की विशेषता नहीं हैं
(i) जल प्रतापों की संख्या कम है
(ii) यातायात हेतु उपयोग होता है
(iii) विसर्प नहीं मिलते हैं
(iv) जल की प्राप्ति हिम और वर्षा से होती है।
उत्तर:
(iii) विसर्प नहीं मिलते हैं

प्रश्न 3.
भारत एवं श्रीलंका के मध्य कौन-सी खाड़ी है?
(2009, 10)
(i) खम्भात की खाड़ी
(ii) कच्छ की खाड़ी
(iii) बंगाल की खाड़ी
(iv) मन्नार की खाड़ी।
उत्तर:
(iv) मन्नार की खाड़ी।

प्रश्न 4.
किस नदी को दक्षिण भारत की गंगा कहते हैं? (2009, 12, 15)
(i) नर्मदा नदी
(ii) कृष्णा नदी
(iii) कावेरी नदी,
(iv) गोदावरी नदी।
उत्तर:
(iv) गोदावरी नदी।

प्रश्न 5.
कृष्णा नदी किन राज्यों से प्रवाहित होती है? (2011)
(i) महाराष्ट्र, कर्नाटक, आन्ध्र प्रदेश
(ii) महाराष्ट्र, उड़ीसा, आन्ध्र प्रदेश
(iii) महाराष्ट्र, केरल, तमिलनाडु
(iv) मध्य प्रदेश, छत्तीसगढ़, उड़ीसा।
उत्तर:
(i) महाराष्ट्र, कर्नाटक, आन्ध्र प्रदेश

रिक्त स्थान पूर्ति

1. पाँच नदियों का प्रदेश …………. को कहा जाता है। (2008)
2. गंगा नदी ……….. नामक हिमानी से निकलती है।
3. नर्मदा नदी मध्य प्रदेश के ………. नामक स्थान से निकलती है।
4. हीराकुंड बाँध …………. पर बनाया गया है।
5. नागार्जुन सागर बाँध …………. नदी पर बना है।

उत्तर:

1. पंजाब
2. गंगोत्री
3. अमरकंटक पहाड़ी
4. महानदी
5. कृष्णा।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अपवाह तन्त्र से क्या आशय है?
उत्तर:
अपवाह तन्त्र से आशय किसी क्षेत्र के नदी तन्त्र से है जो विभिन्न दिशाओं से बहकर आती है और मिलकर एक मुख्य नदी का निर्माण करती है।

प्रश्न 2.
नदी अपहरण से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
जब एक नदी दूसरी नदी के जल क्षेत्र को अपने में मिला लेती है तो उसे नदी अपहरण कहते हैं।

प्रश्न 3.
गंगा नदी की सहायक नदियों के नाम लिखिए। (2014, 17)
उत्तर:
गंगा नदी की सहायक नदियाँ हैं- यमुना, घाघरा, गण्डक और कोसी।

प्रश्न 4.
सिन्धु नदी की पाँच सहायक नदियाँ कौन-सी हैं?
उत्तर:
सिन्धु नदी की पाँच सहायक नदियाँ-झेलम, चिनाब, रावी, सतलज और व्यास हैं।

प्रश्न 5.
ब्रह्मपुत्र नदी को बांग्लादेश में किन-किन नामों से जाना जाता है?
उत्तर:
पद्मा और मेघना नाम से जाना जाता है।

प्रश्न 6.
भारत की पाँच प्रमुख झीलों के नाम लिखिए। (2014)
उत्तर:
भारत की पाँच प्रमुख झील हैं –

1. बुलर झील
2. लोनर झील
3. चिल्का झील
4. कोलेरू झील
5. पुलीकट झील।

प्रश्न 7.
अरब सागर में गिरने वाली दो नदियों के नाम लिखिए। (2018)
उत्तर:
नर्मदा और ताप्ती नदी।

प्रश्न 8.
पाँच नदियों का प्रदेश किसे कहा जाता है? (2018)
उत्तर:
पाँच नदियों का प्रदेश पंजाब को कहा जाता है।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिन्धु नदी तन्त्र को समझाइए।
उत्तर:
इस तन्त्र में सिन्धु और उसकी सहायक नदियों को शामिल किया जाता है। सिन्धु नदी की कुल लम्बाई लगभग 2900 किमी है। सिन्धु की पाँच सहायक नदियाँ झेलम, चिनाब, रावी, सतलज और व्यास हैं। इसमें जल प्रवाह की मात्रा वर्ष भर एक समान नहीं रहती है। उसके जल का उपयोग हम पंजाब, हरियाणा एवं राजस्थान के दक्षिण पश्चिम भागों में सिंचाई के लिये करते हैं।

प्रश्न 2.
उत्तर भारत की नदियों की प्रमुख विशेषताओं का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
उत्तर भारत की नदियों की प्रमुख विशेषताएँ निम्नलिखित हैं –

1. इसमें जल प्रपातों की संख्या कम है।
2. इन नदियों का उपयोग यातायात के लिये किया जाता है।
3. ये नदियाँ गहरी घाटियों का निर्माण करती हैं।
4. इन नदियों के प्रवाह मार्ग में अनेक विसर्प हैं और प्रवाह धाराओं की दिशा भी बदलती रहती है।
5. इन नदियों में जल की प्राप्ति हिम और बर्फ से भी होती है।

प्रश्न 3.
नदियाँ अर्थव्यवस्था को कैसे प्रभावित करती हैं ? व्याख्या कीजिए।
उत्तर:
देश की अर्थव्यवस्था में नदियों का महत्त्वपूर्ण योगदान है। नदी द्वारा निर्मित मैदानों में कृषि होती है। ये स्वच्छ पेयजल की आपूर्ति करती हैं। पहले इनके किनारों पर ही गाँव और नगर स्थित होते थे। धार्मिक और सांस्कृतिक केन्द्र भी अधिकांशतः इनके तटों पर स्थित हैं। नदियों पर बाँध बनाकर सिंचाई के लिये पानी प्राप्त किया जाता है जिससे कृषि की जाती है। इसके अतिरिक्त विद्युत् उत्पादन भी किया जाता है।

प्रश्न 4.
भारत के समीपवर्ती समुद्रों की स्थिति लिखिए।
उत्तर:
भारत एक प्रायद्वीप है जो तीन तरफ से समुद्र से घिरा हुआ है। भारत के दक्षिण में हिन्द महासागर का विस्तार है। पश्चिमी तट के पश्चिम में अरब सागर एवं पूर्वी तट के पूर्व में बंगाल की खाड़ी है। अंडमान और निकोबार द्वीप समूह के पूर्व में अंडमान सागर है। भारत एवं श्रीलंका के मध्य मन्नार की खाड़ी स्थित है। गुजरात के तटवर्ती भाग में खम्भात और कच्छ की खाड़ियाँ हैं।

प्रश्न 5.
नदी प्रदूषण से क्या आशय है? नदियों को प्रदूषण से कैसे बचाया जा सकता है ?
उत्तर:
नदी प्रदूषण से आशय-हम एक ओर तो नदियों को पवित्र मानते हैं और दूसरी ओर इन्हें प्रदूषित करने का प्रयास करते हैं। उद्योगों का कचरा, घरों का गंदा जल, मरे हुए जानवरों को नदियों में प्रवाहित करते हैं। इससे प्रदूषण बढ़ता है। जलकुंभी के विस्तार ने भी नदियों को प्रदूषित किया है।

नदी प्रदूषण कम करने के उपाय –

1. प्रदूषण की समस्या के निराकरण के लिए सरकार द्वारा कानून बनाये गये हैं।
2. औद्योगिक कचरे को नदियों में प्रवाहित करने पर प्रतिबन्ध लगाया गया है।
3. सीवेज लाइनों के जल को परिष्कृत किया जाए।
4. सरकार द्वारा समय-समय पर नदियों की सफाई कराई जाए।
5. लोगों को नदी प्रदूषण की समस्या के प्रति जागरूक किया जाए।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
उत्तर भारत के अपवाह तन्त्र का स्पष्ट वर्णन कीजिए।
उत्तर:
उत्तरी भारत के अपवाह तन्त्र में हिमालय पर्वत का महत्त्वपूर्ण स्थान है क्योंकि उत्तरी भारत की प्रमुख नदियाँ हिमालय पर्वत से ही निकलती हैं। इसलिए इन नदियों को हिमालय की नदियाँ भी कहते हैं। इस अपवाह तन्त्र की प्रमुख नदियाँ सिन्धु, गंगा और ब्रह्मपुत्र हैं।

(1) सिन्धु नदी तन्त्र :
सिन्धु नदी हिमालय पर्वत के पार कैलाश पर्वत के समीप से निकलकर आती है। इसकी कुल लम्बाई 2900 किमी है। यह तिब्बत के मानसरोवर के पास से निकलकर पश्चिम की ओर बहती हुई जम्मू और कश्मीर के लद्दाख जिले में 500 मीटर ऊँचा एक सुन्दर दर्शनीय गार्ज बनाती हुई बहती है। यहाँ से यह दक्षिण-पश्चिम में बहती हुई पाकिस्तान में प्रवेश कर अन्त में अरब सागर में मिल जाती है। सिन्धु की पाँच सहायक नदियाँ झेलम, चिनाब, रावी, सतलज और व्यास हैं। इसके जल का उपयोग हम पंजाब, हरियाणा एवं राजस्थान के दक्षिण पश्चिम भागों में सिंचाई के लिये करते हैं।

(2) गंगा नदी तन्त्र :
भारत के उत्तरी मैदान की प्रमुख नदी गंगा है। इसकी लम्बाई 2500 किमी. से अधिक है। यह गंगोत्री हिमनद से 4000 मीटर की ऊँचाई से निकलकर शिवालिक श्रेणियों को पार करके हरिद्वार के मैदान में प्रवेश करती है। इसकी सहायक नदियाँ यमुना, घाघरा, गंडक और कोसी प्रमुख हैं। ये नदियाँ उपजाऊ बाढ़ का मैदान बनाती हैं। इसमें नदी मोड़ तथा गोखुर झीलें पायी जाती हैं। अम्बाला के निकट जल विभाजक द्वारा गंगा एवं सिन्धु नदी के प्रवाह क्षेत्र का विभाजन होता है।

प्रायद्वीपीय भारत की कठोर भूमि से निकलने वाली चम्बल, केन, बेतवा, सोन और दामोदर नदियाँ भी गंगा प्रणाली का अंग हैं। इन पर बड़े-बड़े बाँधों का निर्माण किया गया है जिनसे जल विद्युत् बनाई जाती है और सिंचाई की जाती है। दक्षिण की ओर बहती हुई गंगा डेल्टा बनाते हुए बंगाल की खाड़ी में मिल जाती है। गंगा की मुख्य धारा बांग्लादेश में प्रवेश कर जाती है। ब्रह्मपुत्र नदी से मिलने के बाद यह मेघना कहलाती है।

(3) ब्रह्मपुत्र नदी तन्त्र :
ब्रह्मपुत्र नदी हिमालय के पार मानसरोवर झील के समीप से निकलकर आती है। हिमालय पर्वत के समानान्तर प्रवाहित होती हुई यह अरुणाचल प्रदेश में प्रवेश करती है। भारत में इसका प्रवाह 1400 किमी है। इसकी सहायक नदियाँ दिबांग, लोहित, धनश्री, कालांग आदि हैं। अधिक वर्षा के क्षेत्र बहने के कारण इसमें अवसाद अधिक होते हैं जिनके जमाव से प्रतिवर्ष बाढ़ आती है। नदियों का प्रवाह बदलता रहता है। नदी द्वीपों का भी निर्माण होता है। तिब्बत में इसे सांगपो, भारत में ब्रह्मपुत्र एवं बांग्लादेश में पद्मा और मेघना नाम से जाना जाता है। यह बहती हुई विशाल डेल्टा का निर्माण करती हुई बंगाल की खाड़ी में गिरती है।

प्रश्न 2.
उत्तर भारत एवं दक्षिण भारत की नदियों की तुलना कीजिए।
उत्तर:
उत्तरी तथा दक्षिणी भारत की नदियों की तुलना

उत्तरी भारत की नदियाँ	दक्षिणी भारत की नदियाँ
1. उत्तरी भारत की नदियाँ हिमालय पर्वतमाला से तथा कुछ नदियाँ दक्षिणी पठार के उत्तर ढाल से निकलती हैं।	1. दक्षिणी भारत की नदियाँ पश्चिमी घाट, अमरकंटक, सतपुड़ा श्रेणी और छोटा नागपुर पठार से निकलती हैं।
2. उत्तरी भारत की नदियों में कम जल प्रपात पाये जाते हैं।	2. यहाँ की नदियों पर अधिक जल-प्रताप पाये जाते हैं।
3. यह नदियाँ गहरे गार्ज बनाती हैं।	3. दक्षिणी भारत की नदियाँ उथली घाटियों में बहती हैं।
4. उत्तरी भारत की नदियाँ यातायात के अनुकूल हैं।	4. दक्षिणी भारत की नदियाँ यातायात के लिए विशेष उपयोगी नहीं हैं।
5. उत्तरी भारत की नदियाँ गहरे विसर्प बनाती हैं तथा मार्ग भी बदल लेती हैं।	5. दक्षिणी भारत की नदियों का मार्ग सीधा होता है।
6. उत्तरी भारत की नदियाँ बाढ़ के समय काँप मिट्टी अपने तटों के दोनों ओर बिछा देती हैं, अतः इनके मैदान अधिक उपजाऊ हैं।	6. दक्षिणी भारत की नदियाँ कठोर चट्टानों पर से होकर बहती हैं, अतः कम मिट्टी निक्षेप होने से उपजाऊ मैदानों की रचना नहीं होती है।

प्रश्न 3.
नदियों का अर्थव्यवस्था में क्या महत्त्व है? समझाइए।
उत्तर:
नदियों का देश की अर्थव्यवस्था में निम्नलिखित महत्त्व है –

• पीने के जल की प्राप्ति :
  प्राचीनकाल में नदियों से ही पीने के लिए जल प्राप्त किया जाता था। आज भी अनेक गाँवों तथा नगरों में इस आधारभूत आवश्यकता की पूर्ति नदियों द्वारा की जाती है।
• सिंचाई सुविधा :
  भारत की नदियाँ सदावाहिनी हैं। अतः इनसे नहरें निकालकर सिंचाई की सुविधाएँ जुटाई जाती हैं। नहरें भारत में सिंचाई के महत्त्वपूर्ण साधन हैं जिनसे देश की 45% भूमि सींची जाती है।
• उपजाऊ मृदा का निर्माण :
  भारत की नदियाँ पर्वत से उपजाऊ मृदा बहाकर लाती हैं तथा इस मृदा को मैदानी भागों में बिछाकर उपजाऊ काँप मृदा का निर्माण करती हैं। यह उपजाऊ भूमि कृषि के लिए अत्यन्त उपयोगी होती है।
• जल-विद्युत् शक्ति का उत्पादन :
  उत्तर भारत की नदियों पर बाँध बनाकर तथा दक्षिण भारत की नदियों के प्राकृतिक प्रपातों पर जल विद्युत् बनायी जाती है। जल-विद्युत् ने उद्योग-धन्धों के विकास में बहुत सहयोग दिया है।
• बालू की प्राप्ति :
  नदियों के किनारों पर बालू पायी जाती है। इस बालू का प्रयोग भवन निर्माण व काँच उद्योग में किया जाता है।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 अन्य परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अपवाह तन्त्र शब्द से आशय किसी क्षेत्र के
(i) वायु तन्त्र से है
(ii) नदी तन्त्र से है
(iii) जल तन्त्र से है
(iv) पर्वत तन्त्र से है।
उत्तर:
(ii) नदी तन्त्र से है

प्रश्न 2.
नर्मदा नदी निकलती है
(i) सतपुड़ा से
(ii) अमरकंटक से
(iii) विन्ध्याचल से
(iv) हिमालय से।
उत्तर:
(ii) अमरकंटक से

प्रश्न 3.
गोदावरी नदी को भारत के किस क्षेत्र की गंगा कहते हैं?
(i) पूर्व
(ii) पश्चिम
(iii) उत्तर
(iv) दक्षिण।
उत्तर:
(iv) दक्षिण।

प्रश्न 4.
गंगा नदी की लम्बाई लगभग है
(i) 2500 किमी से अधिक
(ii) 4000 किमी से अधिक
(iii) 1500 किमी से अधिक
(iv) 5000 किमी से अधिक।
उत्तर:
(i) 2500 किमी से अधिक

प्रश्न 5.
अलमाटी और नागार्जुन सागर बाँध किस नदी पर बनाये गये हैं?
(i) कृष्णा
(ii) कावेरी
(iii) गोदावरी
(iv) नर्मदा।
उत्तर:
(i) कृष्णा

प्रश्न 6.
अरब सागर में गिरने वाली नदी है
(i) गंगा
(ii) नर्मदा
(iii) महानदी
(iv) ब्रह्मपुत्र।
उत्तर:
(ii) नर्मदा

प्रश्न 7.
सांभर झील किस राज्य में स्थित है?
(i) आन्ध्र प्रदेश
(ii) राजस्थान
(iii) उड़ीसा
(iv) तमिलनाडु।
उत्तर:
(ii) राजस्थान

रिक्त स्थान पूर्ति

1. चिल्का झील …………. राज्य में स्थित है। (2013, 17)
2. जलकुंभी के विस्तार ने भी नदियों को ……….. किया है।

उत्तर:

1. उड़ीसा
2. प्रदूषित।

सत्य/असत्य

प्रश्न 1.
हीराकुंड बाँध नर्मदा नदी पर बनाया गया है। (2009)
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 2.
देश की अर्थव्यवस्था में नदियों का महत्त्वपूर्ण स्थान है। (2013)
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 3.
वुलर झील जम्मू और कश्मीर राज्य में स्थित है। (2009)
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
भारत और श्रीलंका के बीच खम्भात की खाड़ी है। (2012)
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
सिन्धु नदी की कुल लम्बाई लगभग 2900 किमी है। (2012)
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 6.
चिल्का झील बिहार में स्थित है। (2013)
उत्तर:
असत्य

सही जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (ख)
2. → (घ)
3. → (क)
4. → (ङ)
5. → (ग)
6. → (च)।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
किस नदी को दक्षिण भारत की गंगा कहते हैं? (2017)
उत्तर:
गोदावरी नदी

प्रश्न 2.
नर्मदा नदी किस प्रदेश से निकलती है?
उत्तर:
मध्य प्रदेश

प्रश्न 3.
गंगा नदी एवं ब्रह्मपुत्र मिलने पर कहलाती है।
उत्तर:
मेघना

प्रश्न 4.
प्रायद्वीप नदियों की विशेषता है।
उत्तर:
मौसमी

प्रश्न 5.
तीनों ओर से समुद्र से घिरा क्षेत्र कहलाता है।
उत्तर:
प्रायद्वीप

प्रश्न 6.
सांगपो नदी को भारत में किस नाम से जाना जाता है? (2008)
उत्तर:
ब्रह्मपुत्र।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारतीय अपवाह तन्त्र के आधार पर भारतीय नदियों को कितने भागों में बाँटा जा सकता है?
उत्तर:
भारतीय अपवाह तन्त्र के आधार पर भारतीय नदियों को दो वर्गों में बाँटा जा सकता है

1. हिमालय की नदियाँ
2. प्रायद्वीपीय नदियाँ।

प्रश्न 2.
भ्रंश से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
आन्तरिक हलचलों के कारण भू-पृष्ठ पर पड़ी दरारें जिनके सहारे चट्टानें खिसक जाती हैं, भ्रंश कहलाते हैं।

प्रश्न 3.
नदी द्वारा लाए गये मलबे के निक्षेप से मैदानी क्षेत्र में बनी घुमावदार आकृति को क्या कहते हैं? (2009)
उत्तर:
विसर्प।

प्रश्न 4.
आन्तरिक अपवाह से क्या समझते हैं?
उत्तर:
आन्तरिक अपवाह एक ऐसा अपवाह तन्त्र होता है जिसमें नदियों का जल महासागरों में नहीं पहुँचता वरन् आन्तरिक समुद्रों या झीलों में गिरता है।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या कारण है कि हिमालय से निकलने वाली नदियाँ सदावाहिनी होती हैं?
अथवा
उत्तर भारत की नदियों में वर्षभर पानी क्यों रहता है? (2015, 17)
उत्तर:
हिमालय पर्वत से निकलने वाली नदियों की मुख्य विशेषता है कि यह सदावाहिनी (वर्ष भर पानी रहता है) होती हैं। क्योंकि इस क्षेत्र की नदियों को वर्षा के जल के अतिरिक्त ऊँचे पर्वतों से हिम के पिघलने से जल की आपूर्ति होती रहती है।

प्रश्न 2.
ब्रह्मपुत्र नदी तन्त्र को समझाइए।
उत्तर:
कैलाश पर्वत एवं मानसरोवर झील के निकट इसका उद्गम है। हिमालय पर्वत के समानान्तर प्रवाहित होती हुई यह अरुणाचल में प्रवेश करती है। इसकी सहायक नदियाँ दिबांग, लोहित, धनश्री, कालांग आदि हैं। अधिक वर्षा के क्षेत्र में बहने के कारण इसमें अवसाद अधिक होते हैं, जिनके जमाव से इसमें प्रतिवर्ष बाढ़ आती है। यह बहती हुई विशाल डेल्टा का निर्माण करती हुई बंगाल की खाड़ी में गिरती है।

प्रश्न 3.
प्रायद्वीपीय भारत की नदियों की विशेषताएँ बताइए।
उत्तर:
प्रायद्वीपीय भारत की नदियों की विशेषताएँ हैं कि ये मौसमी हैं। शुष्क क्षेत्र में प्रवाहित होती हैं। इनकी लम्बाई भी हिमालय से निकलने वाली नदियों से कम है। ये गहरे जमाव के मैदान नहीं बनाती हैं। प्रायद्वीपीय भारत में मुख्य जल विभाजक का निर्माण पश्चिमी घाट द्वारा होता है जो पश्चिमी तट के निकट उत्तर से दक्षिण में स्थित है। प्रायद्वीपीय भाग की अधिकतर नदियाँ, जैसे-महानदी, गोदावरी, कृष्णा तथा कावेरी पूर्व की ओर बहते हुए बंगाल की खाड़ी में गिरती हैं। ये डेल्टा भी बनाती हैं।

प्रश्न 4.
लम्बी धारा होने के बावजूद तिब्बत के क्षेत्र में ब्रह्मपुत्र में कम गाद क्यों है?
उत्तर:
ब्रह्मपुत्र नदी कैलाश पर्वत एवं मानसरोवर झील के निकट से निकलती है। तिब्बत के पठार पर बहती हुई पूर्व में भारत में प्रवेश करती है। जिस स्थान से यह नदी निकलती है वह सदैव बर्फ से ढंका रहता है तथा तिब्बत का क्षेत्र एक पठारी भाग होने के कारण वहाँ पर अपरदन क्रिया नहीं के बराबर होती है। इसलिए ब्रह्मपुत्र नदी कम अवसाद लाती है।

प्रश्न 5.
नर्मदा अपवाह तन्त्र की मुख्य विशेषताएँ बताइए।
उत्तर:
इसकी मुख्य विशेषताएँ निम्न प्रकार हैं –

1. नर्मदा नदी का उद्गम मध्य प्रदेश में अमरकंटक पर्वत क्षेत्र है।
2. यह यहाँ से पश्चिम की ओर भू-भ्रंश घाटी में बहती हुई 1312 किमी का मार्ग तय करके अरब सागर में मिलती है।
3. अपने मुहाने पर यह कीप के आकार की गहरी घाटी में बहकर समुद्र में मिलती है।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 4 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
प्रायद्वीपीय भारत की नदियों का वर्णन कीजिए।
अथवा
दक्षिण भारत में नदी-तन्त्र का स्पष्ट वर्णन कीजिए।
उत्तर:
दक्षिण भारत नदी तन्त्र में प्रमुख नदियाँ पश्चिमी घाट से निकलकर आती हैं तथा पूर्व की ओर बहती हैं और बंगाल की खाड़ी में मिल जाती हैं। इन नदियों में महानदी, गोदावरी, कृष्णा तथा कावेरी प्रमुख हैं। इसके अतिरिक्त पश्चिम की ओर बहने वाली दो नदियाँ नर्मदा तथा तापी अरब सागर में गिरती हैं।

• नर्मदा नदी :
  यह नदी मध्य प्रदेश में अमरकंटक पहाड़ी से निकलकर गहरी भ्रंश घाटी में 1312 किमी बहती हुई अरब सागर में गिरती है। इसका प्रवाह क्षेत्र मध्य प्रदेश और गुजरात में है। यह जबलपुर के निकट संगमरमर के शैलों में भेड़ाघाट पर धुंआधार जलप्रपात बनाती है।
• ताप्ती नदी :
  यह नदी मध्य प्रदेश में सतपुड़ा पर्वत श्रृंखलाओं में बैतूल जिले के मुल्ताई नामक स्थान से निकलती है। इसकी लम्बाई 724 किमी है। यह मध्य प्रदेश, महाराष्ट्र और गुजरात में बहती हुई खम्भात की खाड़ी में गिरती है।
• गोदावरी नदी :
  गोदावरी नदी नासिक के पास पश्चिमी घाट से निकलकर 1500 किमी उड़ीसा तथा आन्ध्र प्रदेश में बहती हुई बंगाल की खाड़ी में गिरती है। इसकी सहायक नदियाँ वर्धा, मांजरा, वेन गंगा तथा पेन गंगा हैं। बड़े आकार और विस्तार के कारण इसे दक्षिण की गंगा भी कहते हैं।
• महानदी नदी :
  इस नदी का उद्गम छत्तीसगढ़ की उच्च भूमि में सिहावा नामक स्थान से है। इसकी लम्बाई 858 किमी है। यह महाराष्ट्र, छत्तीसगढ़, झारखण्ड और उड़ीसा में बहती है। हीराकुड बाँध इसी नदी पर बनाया गया है।
• कृष्णा नदी :
  कृष्णा नदी महाराष्ट्र में महाबलेश्वर के पास से निकलती है। इसकी लम्बाई 1400 किमी है। कोयना, पचगंगा, मालप्रभा, घाटप्रभा, भीमा, मूसी और तुंगभद्रा इसकी सहायक नदियाँ हैं। अलमाटी और नागार्जुनसागर बाँध इसी नदी पर बनाये गये हैं।
• कावेरी नदी :
  इसका उद्गम कुर्ग की ब्रह्मगिरि पहाड़ी श्रृंखला से होता है। इसकी लम्बाई 760 किमी है। इसकी सहायक नदियाँ हेमावती, अमरावती, भवानी आदि हैं। शिवसमुद्रम् इसका प्रमुख प्रपात है। इस नदी से जल विद्युत् बनायी जाती है एवं सिंचाई की जाती है।

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर “आगे स्कूल है” लिखा है और यह भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm हो तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:

अब संकेत बोर्ड की परिमाप = 180 cm
⇒ बोर्ड की एक भुजा a = \(\frac { 180 }{ 3 }\) cm = 60 cm
संकेत बोर्ड का क्षेत्रफल ∆ = \(\frac{a^{2}}{4} \sqrt{3}=\frac{(60)^{2}}{4} \sqrt{3}=900 \sqrt{3}\) cm².
अतः संकेत बोर्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 900√3 cm².

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में किसी फ्लाईओवर (Flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। इस विज्ञापन से प्रतिवर्ष ₹ 5,000 प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराये
पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?

चित्र 12.5
हल:
दिया है : त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ क्रमशः a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{122+22+120}{2}=\frac{264}{2}=132 \mathrm{m}\)
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल

⇒ दीवार का क्षेत्रफल = 1320 m²
दीवार का कुल किराया = क्षेत्रफल – किराए की दर x समय
⇒ दीवार का कुल किराया = 1320 x 5000 x \(\frac { 3 }{ 12 }\) = ₹ 16,50,000
अतः कम्पनी द्वारा दिया गया अभीष्ट किराया₹ 16,50,000 है।

प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसलपट्टी (Slide) बनी हुई है। इसकी पार्वीय दीवारों (Side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है (देखिए पार्क को हरा भरा संलग्न चित्र)। यदि इस दीवार और साफ रखिए की विमाएँ 15 m, 11 m, और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चित्र 12.6
हल:
मान लीजिए फिसलपट्टी की पार्वीय दीवारों की विमाएँ क्रमशः a = 15 m, b = 11 m एवं c = 6 m दी गई हैं।
तो s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+11+6}{2}=\frac{32}{2}=16 \mathrm{m}\)
हीरोन के सूत्र से दीवार का क्षेत्रफल

अतः दीवार के पेंट किए हुए भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20√2 m².

प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल:
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः a, b और c हैं
a = 18 cm, b = 10 cm, a + b + c = 42 cm (दिया है)
⇒ 18 + 10 + c = 42 ⇒ c = 42 – 28 = 14 cm
अब \(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{42}{2}=21 \mathrm{cm}\)
तथा हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 21√11 cm².

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि त्रिभुज की भुजाएँ 12 : 17 : 25 के अनुपात में हैं तो मान लीजिए ये भुजाएँ 12 x, 17x और 25x हैं।
12x + 17x + 25x = 540 cm
⇒ 54x = 540 cm = x = 540/54 = 10
⇒ ∆ की भुजाएँ क्रमशः 120 cm, 170 cm और 250 cm

अतः त्रिभुज अभीष्ट क्षेत्रफल = 9000 cm².

प्रश्न 6.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm की लम्बाई की हैं। उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि त्रिभुज की बराबर भुजाएँ = a = b = 12 cm एवं परिमाप a + b + c = 30 cm.
तब c = 30 – 12 – 12 = 30 – 24 = 6 cm

अतः त्रिभुज अभीष्ट क्षेत्रफल = 9√15 cm².

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

प्रश्न 1.
1.5 m लम्बा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाता है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए कि
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 m² शीट का मूल्य Rs 20 है।
हल :
डिब्बा का आधार घनाभ है जिसका ऊपरी तल खुला है।
दिया है : डिब्बा की लम्बाई, l = 1.5 m, चौड़ाई b = 1.25 m और गहराई h = 65 cm = 0.65 m
(i) चूँकि डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (2 + b) × h .
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (1.50 + 1.25) × 0.65
= 2 × 2.75 × 0.65
= 3:575 m²
एवं आधार का क्षेत्रफल = l × b = 1.50 × 1.25 = 1.875 m²
प्लास्टिक शीट का कुल क्षेत्रफल = 3.575 + 1.875 = 5.450 m²
अतः प्लास्टिक शीट का अभीष्ट क्षेत्रफल = 5.45 m².

(ii) प्लास्टिक शीट का मूल्य = दर × क्षेत्रफल
= 20 × 5.45
= Rs 109
अतः प्लास्टिक शीट का अभीष्ट मूल्य = Rs 109.

प्रश्न 2.
एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 m, 4 m और 3 m है। Rs 7.50 प्रति m² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (2019)
हल :
दिया है : कमरे की लम्बाई l = 5 m, चौड़ाई b = 4 m और ऊँचाई h = 3 m है।
कमरे की दीवारों का पार्श्व पृष्ठ = 2 (l + b) × h = 2 (5 + 4) × 3 = 54 m²
कमरे की छत का क्षेत्रफल = l × b = 5 × 4 = 20 m²
सफेदी के लिए कुल क्षेत्रफल = 54 + 20 = 74 m²
सफेदी कराने का व्यय = दर × क्षेत्रफल = 7.50 × 74 = Rs 555
अतः सफेदी कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 555.

प्रश्न 3.
किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि Rs 10 प्रति मीटर² की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत Rs 15,000 हो, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : हॉल के फर्श का परिमाप = 250 m, दीवारों पर पेंट की दर Rs 10 प्रति m² एवं पेंट कराने का व्यय Rs 15,000
मान लीजिए हॉल की ऊँचाई h मीटर है।
चूँकि दीवारों का क्षेत्रफल = फर्श की परिमाप × ऊँचाई
= 250 × h = 250 h m²
पेंट का व्यय = दर × क्षेत्रफल = 10 × 250 h = 15,000
\(h=\frac { 15,000 }{ 2,500 }=6m\)
अतः हॉल की अभीष्ट ऊँचाई = 6 m.

प्रश्न 4.
किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंटें पेंट की जा सकती
हैं ?
हल :
दिया है : एक ईंट की विमाएँ 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm तथा डिब्बे के रंग से पेंट हो सकने वाला क्षेत्रफल 9:375 m² अर्थात् 93750 cm².
एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 7.5 × 22.5) cm²
= 2 (225 + 75 + 168.75) = 937.5 cm²

अतः ईंटों की अभीष्ट संख्या = 100.

प्रश्न 5.
एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाईं तथा ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm, 10 cm और 8 cm है।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है ?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है ?
हल :
(i) पहले डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² = 4 × 10² = 400 cm²
तथा दूसरे डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (12.5 + 10) × 8 = 360 cm²
दोनों के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अन्तर = 400 – 360 = 40 cm²
अतः पहले डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे से 40 cm² अधिक है।

(ii) पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × 10² = 600 cm²
तथा द्वितीय डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[12.5 × 10 + 10 × 8 + 8 × 12.5]
= 2 (125 + 80 + 100)
= 2 × 305
= 610
दोनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अन्तर = 610 – 600 = 10 cm²
अतः पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे से 10 cm² कम है।

प्रश्न 6.
एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लम्बा, 25 cm चौड़ा 25 cm ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है ?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है ?
हल :
(i) शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = 2 (30 × 25 + 25 × 25 + 25 × 30)
= 2 (750 + 625 + 750)
= 2 × 2125
= 4250 cm²
अतः शीशे की पट्टियों का कुल अभीष्ट क्षेत्रफल = 4250 cm².

(ii) टेप की कुल लम्बाई = सभी कोरों की लम्बाई का योग
= 4 (30 + 25 + 25)
= 4 × 80
= 320 cm
अतः टेप की कुल अभीष्ट लम्बाई = 320 cm.

प्रश्न 7.
शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बे की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बे की माप 15 cm × 12 cm × 5 cm थी। सभी प्रकार की अतिव्यापकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत Rs 4 प्रति 1000 cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आयेगी?
हल:
बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (25 × 20 + 20 × 5 + 5 × 25)
= 2 (500 + 100 + 125)
= 2 × 725
= 1450 cm²
250 डिब्बों के लिए गत्ते का कुल क्षेत्रफल = 1450 × \(\frac { 105 }{ 100 }\) × 250 = 380625 cm²
और छोटे डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (15 × 12 + 12 × 5 + 5 × 15)
= 2 (180 + 60 + 75)
= 2 × 315
= 630 cm²
250 डिब्बों के लिए गत्ते का कुल क्षेत्रफल = 630 × \(\frac { 105 }{ 100 }\) × 250 = 165375 cm²
गत्ते का कुल क्षेत्रफल = 380625 + 165375 = 546000 cm²
डिब्बे बनवाने का व्यय = 546000 × \(\frac { 4 }{ 1000 }\) = Rs 2184
अतः डिब्बे बनवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 2,184.

प्रश्न 8.
परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए एक संदूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले। (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है) यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 m × 3 m और ऊँचाई 2.5 m वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
हल:
ढाँचे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4 + 3) × 2.5 = 35 m²
ढाँचे की छत का क्षेत्रफल = 4 × 3 = 12 m²
तिरपाल का कुल क्षेत्रफल = 35 + 12 = 47 m²
अतः ढाँचे को बनाने के लिए आवश्यक अभीष्ट तिरपाल = 47 m².

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों में से कौनसी आकृतियाँ एक ही आधार पर और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं ? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समान्तर रेखाएँ लिखिए।

चित्र 9.1
उत्तर:
चित्र : 9.1 (i) उभयनिष्ठ आधार = DC और DC || AB
चित्र : 9.1 (iii) उभयनिष्ठ आधार = QR और QR || PS
चित्र : 9.1 (v) उभयनिष्ठ आधार = AD और AD || BC

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Additional Questions

MP Board Class 9th Maths Chapter 8  अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Maths Chapter 8  दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB = 10 cm और ∠AD = 6 cm है। ∠A का समद्विभाजक DC से E पर मिलता है तथा AE और BC बढ़ाने पर F पर मिलते हैं। CF की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

चित्र 8.25
हल:
ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है जिसमें AB = 10 cm AK एवं AD = 6 cm है।
∠A का समद्विभाजक DC को E पर प्रतिच्छेद करता है तथा आगे बढ़ाने पर BC को F पर प्रतिच्छेद करता है।
चूँकि AD || BC को तिर्यक रेखा AB प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠DAB + ∠ABC = 180° एक ही ओर के अन्त:कोण हैं,
अर्थात् ∠ DAF + ∠ FAB + ∠ABF = 180° ….(1)
एवं ∆ABF में, ∠ FAB + ∠ABF + ∠ BFA = 180° …(2)
⇒ ∠BFA = ∠DAF [समीकरण (1) और (2) से]
अर्थात् ∠BFA = ∠ BAF (∠ DAF = ∠ BAF क्योंकि AF, ∠A का समद्विभाजक है)
⇒ BF = AB (∵ समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ BC + CF = AB (चित्रानुसार)
⇒ 6 cm + CF = 10 [AB = 10 cm, BC = AD = 6 cm (दिया है)]
⇒ CF = 10cm – 6 cm = 4 cm
अत: CF का अभीष्ट मान = 4 cm.

प्रश्न 2.
P, Q, R और S क्रमशः चतुर्भुज ABCD की AB, BC, CD R और DA भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं जिसमें AC = BD है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है।

चित्र 8.26
हल:
ABCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः PQR और S हैं।
चतुर्भुज के AC = BD.
चूँकि ∆ABC में AB और BC के मध्य-बिन्दु क्रमशः P और Q हैं।
⇒ PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(1)
चूँकि ∆ADC में AD और CD के मध्य-बिन्दु क्रमश: S और R हैं।
SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC ….(2)
PQ = SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC [समीकरण (1) और (2) से] ..(3)
चूँकि ∆BAD में BA और DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P और S है।
⇒ PS = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD …..(4)
चूँकि ∆BCD में BD एवं CD के मध्य-बिन्दु क्रमशः Q और R है
⇒ QR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) = BD …..(5)
⇒ PS = QR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD
PS = QR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC (चूँकि AC = BD दिया है) ..(6)
⇒ PQ = SR = PS = QR [समीकरण (3) एवं (6) से]
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
P, Q, R और S क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं जिसमें AC ⊥ BD है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक आयत है।

चित्र 8.27
हल:
P, Q, R और S क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं जिसके विकर्ण AC ⊥ BD
चूँकि ∆ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु क्रमशः P और ए हैं।
PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) = AC एवं PQ || AC …(1)
चूँकि ∆ADC की भुजाओं CD और AD के मध्य-बिन्दु R और S हैं।
⇒ SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) = AC एवं SR || AC …(2)
⇒ PQ = SR एवं PQ || SR [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
चूँकि ∆BAD की भुजाओं BA और DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P और S हैं।
⇒ PS || BD
⇒ चूँकि PQ || AC और PS || BD तथा AC ⊥ BD
⇒ PQ ⊥ PS ∠SPQ = 90° (दो परस्पर लम्ब रेखाओं के समान्तर रेखाएँ परस्पर लम्ब होती हैं)
अत: PORS एक आयत है। (परिभाषा से) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABCD एक आयत है जिसका विकर्ण BD कोण ∠B को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि ABCD एक वर्ग है।।

चित्र 8.28
हल:
ABCD एक आयत है जिसका विकर्ण BD, ∠B को समद्विभाजित करता है अर्थात्,
∠ABD = ∠CBD = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠B = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 90° = 45° (आयत का कोण = 90°)
अब ∆BCD में, ∠ BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180° (∆ के अन्तः कोण हैं)
⇒ 90° + 45° + ∠CDB = 180° (∠BCD = 90° आयत का कोण तथा ∠CBD = 45°)
⇒ ∠CDB = 45° लेकिन ∠CBD = 45° (सिद्ध कर चुके हैं)
⇒ BC = DC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ AB = BC = CD = DA
अत: ABCD एक वर्ग है। (परिभाषा से) इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Chapter 8  लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज का एक कोण 108° है तथा अन्य तीनों कोण बराबर हैं। तीनों बराबर कोणों में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बराबर कोणों में प्रत्येक का मान = x° है।
⇒ 108° + 3x° = 360° (चतुर्भुज के अन्तः कोण हैं)
⇒ 3x = 360° – 108° = 252°
x = 252/3 = 84°
अतः अभीष्ट बराबर कोणों में से प्रत्येक मान = 84°.

प्रश्न 2.
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC और ∠A=∠B = 45°। इस समलम्ब के ∠C और ∠D का मान ज्ञात कीजिए।

चित्र 8.29
हल:
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || DC एवं ∠A = ∠B = 45°
चूँकि AB || DC को तिर्यक रेखा AD काटती है
⇒ ∠A+∠D = 180° (एक ओर के अन्त:कोण हैं)
⇒ 45° + ∠D = 180° (∵∠A = 45°)
⇒ ∠D = 180° – 45° = 135°
चूँकि AB || DC को तिर्यक रेखा BC प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠B + ∠C = 180° (एक ही ओर के अन्त: कोण है)
⇒ 45° + ∠C = 180° (∠B = 45° दिया है)
⇒ ∠C = 180° – 45° = 135°
अतः अभीष्ट कोणों ∠C और ∠D का प्रत्येक का मान 135° है।

प्रश्न 3.
ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें D से AB पर शीर्षलम्ब AB को समद्विभाजित करता है। समचतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

चित्र 8.30
हल:
ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें D से AB पर डाला गया शीर्ष लम्ब DE, AB को समद्विभाजित करता है अर्थात्
AE = EB …(1)
DB को मिलाइए।
चूँकि ∆DAB में आधार AB के मध्य-बिन्दु पर खींचा गया लम्बशीर्ष D से होकर जाता है।
⇒ AD = BD
AB = BC = CD = DA (समचतुर्भुज की भुजाएँ हैं)
⇒ AB = BC = CD = DA = BD (∵ DA = AD = BD)
⇒ ∆ABD एवं ∆BCD समबाहु त्रिभुज है।
⇒ ∠DAB = ∠ BCD = 60° कोण ∠ABC = ∠CDA = 180° – 60° = 120° (क्रमश: ∠DAB एवं ∠BCD के सम्पूरक हैं)
अतः समचतुर्भुज के अभीष्ट कोण ∠A = ∠C = 60° एवं ∠B = ∠D = 120°

प्रश्न 4.
D, E और F क्रमशः एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु mn हैं। दर्शाइए कि ∆DEF भी एक समबाहु त्रिभुज है।

चित्र 8.31
हल:
त्रिभुज ABC में AB = BC = CA तथा D, E और F क्रमशः
BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं।
चूँकि ∆ABC में E और F भुजाओं AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ EF = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BC …(1)
चूँकि ∆ABC में F और D भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ FD = \(\frac { 1 }{ 2 }\)CA
चूँकि ∆ABC में D और E भुजाओं BC और CA के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB …(3)
⇒ DE = EF = FD (बराबर के आधे बराबर होते हैं)
अतः त्रिभुज DEF की समबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
चतुर्भुज के कोई तीन प्रकार लिखिए, चित्र भी बनाइए। (2019)
हल:
चतुर्भुज के कोई तीन प्रकार

चित्र 8.32

MP Board Class 9th Maths Chapter 8 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि OA = 3 cm और OD = 2 cm है, तो AC और BD की लम्बाई ज्ञात कीजिए। उत्तर:
AC = 2OA = 2 x 3 = 6 cm एवं BD = 2 x OD = 2 x 2 = 4 cm, क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्न 2.
“समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।” क्या यह कथन सत्य है ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर किसी भी कोण पर समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्न 3.
क्या कोण 110°, 80°, 70° और 95° किसी चतुर्भुज के कोण हो सकते हैं ? क्यों और क्यों नहीं ?
उत्तर:
नहीं हो सकते, क्योंकि कोणों का योग = 110° + 80° + 70° + 95° = 355° है, जबकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।

प्रश्न 4.
चतुर्भुज ABCD में ∠A+ ∠D = 180° है। इस चतुर्भुज को कौन-सा विशेष नाम दिया जा सकता है ?
उत्तर:
समलम्ब चतुर्भुज, क्योंकि AB || CD है।

प्रश्न 5.
एक चतुर्भुज के सभी कोण बराबर हैं। इस चतुर्भुज को कौन-सा नाम दिया जा सकता है ?
उत्तर:
आयत, क्योंकि आयत का प्रत्येक कोण 90° का होता है।

प्रश्न 6.
एक आयत के विकर्ण परस्पर बराबर और लम्ब हैं। क्या यह कथन सत्य है ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि आयत के विकर्णों का परस्पर लम्ब होना आवश्यक नहीं है।

प्रश्न 7.
क्या किसी चतुर्भुज के सभी कोण अधिक कोण हो सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
नहीं हो सकते, क्योंकि चतुर्भुज चारों अन्तः कोणों का योग 360° होता है।

प्रश्न 8.
∆ABC में AB = 5 cm, BC = 8 cm और CA = 7 cm है। यदि D और E क्रमशः AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं, तो DE की लम्बाई निर्धारित कीजिए।
उत्तर:
DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC = \(\frac { 7 }{ 2 }\) = 3.5 cm, क्योंकि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य-बिन्दु को मिलाने
वाला रेखाखण्ड तीसरी के आधा होता है।

प्रश्न 9.
क्या किसी चतुर्भुज के सभी कोण न्यूनकोण हो सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
नहीं हो सकते, क्योंकि इसके अन्तः कोणों का योग चार समकोण से कम होगा जबकि यह चार समकोण होना चाहिए।

प्रश्न 10.
क्या किसी चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
हो सकते हैं, क्योंकि इनका योग चार समकोण के बराबर है।

प्रश्न 11.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। यदि ∠A= 35° है तो ∠B निर्धारित कीजिए।
उत्तर:
चूँकि चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है। इसलिए ∠A + ∠B = 180° ⇒∠B = 180° – ∠A = 180° – 35° = 145°

प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण बराबर हैं। यदि AB = 4 cm है, तो CD निर्धारित कीजिए।
उत्तर:
चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए CD = AB = 4 cm.

प्रश्न 13.
चतुर्भुज के कोई चार प्रकार लिखिए। (2019)
उत्तर:
1. समान्तर चतुर्भुज,
2. समचतुर्भुज,
3. समलम्ब चतुर्भुज,
4. आयत।

प्रश्न 14.
यदि किसी चतुर्भुज के तीन कोण क्रमश: 90°, 120° व 80° हैं, तो चौथा कोण ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
मान लीजिए कि चौथा कोण x है, और चूँकि चतुर्भुज के चारों अन्तः कोणों का योग 360° होता हैं।
इसलिए, 90° + 120° + 80° + x° = 360°
⇒ 290° + x° = 360°
⇒ x° = 360° – 290° = 70°
अतः अभीष्ट कोण का मान = 70°.

प्रश्न 15.
किसी चतुर्भुज के तीन कोण 110°, 80° एवं 70° है, तो उसका चौथा कोण ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
निर्देशः उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।
उत्तर:
अभीष्ट कोण का मान = 100°

MP Board Class 9th Maths Chapter 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90° और 75° हैं। इसका चौथा कोण है :
(a) 90°
(b) 95°
(c) 105°
(d) 120°.
उत्तर:
(d) 120°

प्रश्न 2.
एक आयत का एक विकर्ण उसकी एक भुजा से 25° पर नत है। इसके विकर्णों के बीच न्यूनकोण
(a) 55°
(b) 50°
(c) 40°
(d) 25°
उत्तर:
(b) 50°

प्रश्न 3.
ABCD एक सम चतुर्भुज है जिसमें ∠ACB = 40° । तब ∠ADB है :
(a) 40°
(b) 45°
(c) 50°
(d) 60°
उत्तर:
(c) 50°

प्रश्न 4.
यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B, C और D का इसी क्रम में लेने पर अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 है तो ABCD है एक:
(a) समचतुर्भुज
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समलम्ब
(d) आयत।
उत्तर:
(c) समलम्ब

प्रश्न 5.
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग होता है :
(a) 180°
(b) 90°
(c) 360°
(d) 720°.
उत्तर:
(c) 360°

प्रश्न 6.
यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान हों, तो वह होगा :
(a) समलम्ब
(b) चक्रीय चतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) आयत।
उत्तर:
(c) समान्तर चतुर्भुज

प्रश्न 7.
समान्तर चतुर्भुज ABCD में कोण बराबर होंगे :
(a) ∠A और B
(b) ∠B और ∠C
(c) ∠A और ∠C
(d) ∠C और ∠D.
उत्तर:
(c) ∠A और ∠C

प्रश्न 8.
एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर तथा परस्पर लम्ब हैं, तो वह चतुर्भुज होगा :
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) वर्ग
(d) समचतुर्भुज।
उत्तर:
(c) वर्ग

प्रश्न 9.
किस आकृति के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते :
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समलम्ब चतुर्भुज
(d) समचतुर्भुज।
उत्तर:
(c) समलम्ब चतुर्भुज

प्रश्न 10.
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं :
(a) समकोण पर
(b) न्यूनकोण पर
(c) अधिक कोण पर
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) समकोण पर

प्रश्न 11.
आयत का प्रत्येक कोण होता है :
(a) 90°
(b) 180°
(c) 360°
(d) 270°.
उत्तर:
(a) 90°

प्रश्न 12.
किसी चतुर्भुज के ऐसे दो कोण जिनकी कोई भुजा उभयनिष्ठ न हो, कहलाते हैं :
(a) सम्मुख कोण
(b) आसन्न कोण
(c) समकोण
(d) न्यूनकोण।
उत्तर:
(a) सम्मुख कोण

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण परस्पर ……. करते हैं।
2. आयत के विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को …………. करते हैं।
3. किसी वर्ग की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से निर्मित चतुर्भुज ……. होगा।
4. यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समान और लम्ब हों तो वह चतुर्भुज …….. होगा।
5. वह चतुर्भुज जिसके विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें ……….. होता है।
उत्तर:
1. समद्विभाजित,
2. समद्विभाजित,
3. वर्ग,
4. वर्ग,
5. समचतुर्भुज ।

जोड़ी मिलान

उत्तर:
1. → (c),
2. → (d),
3. → (e),
4. → (a),
5. → (b),
6. → (g),
7. → (f).

सत्य/असत्य कथन
1. चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 180° होता है।
2. समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
3. समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं।
4. वर्ग के विकर्ण समान होते हैं तथा परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
5. यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लम्ब और बराबर हों, तो वह आयत होता है।
उत्तर:
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. चार रेखाखण्डों में निर्मित आकृति क्या कहलाती है?
2. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वह चतुर्भुज क्या होगा?
3. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा और तीसरी भुजा में क्या सम्बन्ध
4. किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से दूसरी, भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को किस अनुपात में विभक्त करती है?
5. किसी चतुर्भुज में कितने शीर्ष होते हैं?
6. आयत का प्रत्येक कोण कितने अंश का होता है? (2019)
उत्तर:
1. चतुर्भुज,
2. समान्तर चतुर्भुज,
3. तीसरी भुजा के समान्तर और आधी,
4. 1 : 1,
5. चार,
6. 90°.

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC है। (2018)
(ii) PQ = RS है।
(iii) PORS एक समान्तर चतुर्भुज है।

चित्र 8.12
हल:
(i) ∆DAC में S और R क्रमशः DA और DC के मध्य-बिन्दु हैं।
अतः SR || AC और SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC.
(ii) ∆BCA में, P और Q क्रमश: AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ PQ || AC और PO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC .
लेकिन SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC अथवा RS = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC (सिद्ध कर चुके हैं)
अतः PQ = RS. इति सिद्धम्

(iii) PQ || AC एवं PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC (सिद्ध कर चुके हैं)
RS || AC एवं RS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC (सिद्ध कर चुके हैं)
PQ || RS एवं PQ = RS (एक ही वस्तु के बराबर और समान्तर आपस में बराबर और समान्तर होते हैं)
अतः PORS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज है और P Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

चित्र 8.13
हल:
दिया है: ABCD एक समचतुर्भुज है तथा P, O, R एवं S
क्रमशः AB, BC, CD एवं DA के मध्य-बिन्दु हैं।
PR एवं SQ को मिलाइए।
चूँकि AS || BQ एवं AS = BQ
(बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ ABQS एक समान्तर चतुर्भुज है ⇒ AB = SQ
चूँकि AP || DR एवं AP = DR (बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ APRD एक समान्तर चतुर्भुज है ⇒ AD = PR
लेकिन AB = AD ⇒ SQ = PR (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)
अतः चतुर्भुज PORS एक आयत है। (विकर्ण SQ = PR) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए चतुर्भुज PORS एक समचतुर्भुज है।

चित्र 8.14
हल:
ABCD एक आयत है जिसकी भुजाओं AB,BC, CD एवं DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R और S हैं।
PQ और QS को मिलाइए। चूँकि P, Q, R, S आयत ABCD की संलग्न भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
चूँकि DR || AP एवं DR = AP (बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ DA ||RP|| CB
चूँकि AS || BQ एवं AS = BQ (बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ AB || SQ || DC
⇒ RP ⊥ SQ (∵ DA ⊥ AB)
अतः PQRS एक सम चतुर्भुज है। (विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC है। साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिन्दु है। E से होकर एक रेखा AB के समान्तर खींची जाती है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।

चित्र 8.15
हल:
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC, DA के मध्य-बिन्दु E से AB के समान्तर रेखा खींची गई है जो BC को बिन्दु F पर प्रतिच्छेद करती है। BD समलम्ब चतुर्भुज का एक विकर्ण है। मान लीजिए रेखा EF, DB को बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि ∆DAB में DA के मध्य-बिन्दु E से EF || AB खींची गई है।
⇒ G भुजा DB का मध्य-बिन्दु होगा।
चूँकि AB || DC एवं AB | | EF (दिया है)
⇒ EF || DC तथा सिद्ध कर चुके है कि G भुजा DB का मध्य-बिन्दु है।
अतः F, भुजा BC का मध्य-बिन्दु होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक समान्तर चतुर्भुज ARCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि रेखाखण्ड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।

चित्र 8.16
हल:
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज जिसमें E और F
क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। विकर्ण BD, AF एवं EC क्रमशः P और Q बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
रेखा l || AF एवं रेखा m || EC खींचिए।
चूँकि AB = CD एवं AB || CD के मध्य-बिन्दु क्रमशः E एवं F हैं।
⇒ AE = CF एवं AE || CF (बराबर एवं समान्तर रेखाओं के आधे है)
⇒ □AECF एक समान्तर चतुर्भुज है (समान्तर एवं बराबर रेखायुग्म AE एवं CF है)
⇒ AF || EC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ l || AF || EC [चूँकि AF || EC एवं l || AF (रचना से)]
चूँकि l || AF || EC तिर्यक रेखाखण्ड DC से DF = FC अन्त:खण्ड काटते हैं।
⇒ l || AF || EC तिर्यक रेखाखण्ड DQ से DP = PQ अन्त:खण्ड काटेंगे,
अब AF || EC || m चूँकि AF || EC एवं EC || m (रचना से)]
चूँकि AF || EC || m रेखाखण्ड AB से AE = EB अन्त:खण्ड काटते हैं।
⇒ AF || EC || m रेखाखण्ड PB से PQ = QB रेखाखण्ड काटते हैं,
चूँकि DP = PQ एवं PQ = QB ⇒ DP = PQ = QB.
अतः रेखाखण्ड AF एवं EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर । समद्विभाजित करते हैं।
हल:

चित्र 8.17
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज जिसकी भुजाओं AB, BC, CD एवं DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R और 5 हैं। PR और QS एक-दूसरे को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
PQ, QR, RS, SP एवं BD को मिलाइए।
अब ∆ABD में PS || BD एवं PS = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD (P और S क्रमशः AB और AD के मध्य-बिन्दु हैं)
एवं A CBD में QR || BD एवं QR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD (Q और R क्रमशः BC और CD के मध्य-बिन्दु हैं)
⇒ PS || QR एवं PS = QR (PS एवं QR दोनों एक ही रेखाखण्ड BD के समान्तर और आधे हैं)
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है और PR एवं QS इसके विकर्ण हैं।
⇒ PQ = QR एवं QO = OS (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)
अतः किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिन्दु M से होकर BC के समान्तर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि-
(i) D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(ii) CM = MA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB है।

चित्र 8.18
हल:
ABC एक त्रिभुज दिया गया है जिसमें ∠C समकोण है तथा कर्ण AB के मध्य-बिन्दु M से MD || BC खींची गई है जो AC को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है।
(i) चूँकि ∆ABC में AB के मध्य-बिन्दु M से MD || BC खींची गई है।
⇒ MD रेखाखण्ड AC को बिन्दु D पर समद्विभाजित करेगी।
अत: D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है। इति सिद्धम्

(ii) चूँकि MD || BC और BC ⊥AC (∠ACB समकोण दिया है)
अतः MD ⊥ AC. इति सिद्धम्

(iii) CM को मिलाइए।
चूँकि MD ⊥ AC एवं AD = DC
⇒ ∆AMC समद्विबाहु त्रिभुज है
⇒ CM = MA एवं MA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB.
अतः CM = MA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB. इति सिद्धम्

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.2

प्रश्न 1.
आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि यह सरलता से समझी जा सके?
उत्तर:
यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करे और अपने एक ही ओर के दो अन्तः कोणों का योग 2 समकोण (180°) से कम है तो वे रेखाएँ प्रतिच्छेदी रेखाएँ होंगी, समान्तर नहीं।

प्रश्न 2.
क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समान्तर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है ? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:

यदि कोई सरल रेखा l, दो सरल रेखाओं m एवं n पर पड़ती है इस प्रकार कि l के एक ओर के अन्तः कोणों का योग 2 समकोण (180°) हो तो वे रेखाएँ m एवं n इस ओर कभी भी नहीं मिलेंगी (यूक्लिड के पाँचवीं अभिगृहीत के अनुसार) एवं चूँकि दूसरी ओर के अन्त: कोणों का योग भी चित्र 5.12 दो समकोण (180°) होगा।
अतः ये इस तरफ भी नहीं मिलेंगी। अत: रेखाएँ m एवं n परस्पर समान्तर होंगी।

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ∆CBD में AC=AD और AB कोणA को समद्विभाजित करता है। (देखिए चित्र 7.1) दर्शाइए कि ∆ ABC ≅ ∆ ABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?
(2018, 19)

चित्र 7.1
हल:
चित्रानुसार ∆ABC और ∆ABD में,
∵ भुजा AC = भुजा AD
∵ ∠BAC = ∠BAD
∵ भुजा AB = भुजा AB
∵ ∆ABC ≅ ∆ABD (SAS सर्वांगसमता नियम से) इति सिद्धम्
भुजा BC = भुजा BD. (CPCT)

प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और । ∠DAB = ∠CBA है। (देखिए चित्र 7.2) सिद्ध कीजिए कि-
(i) ∆ABD ≅ ∆BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC.

चित्र 7.2
हल:
(i) चित्रानुसार ∆ ABD और ∆BAC में,
∵ भुजा AD = भुजा BC (दिया है)
∵ ∠DAB = ∠CBA (दिया है)
∵ भुजा AB = भुजा AB (उभयनिष्ठ हैं)
∴ ∆ABD = ∆BAC. (SAS सर्वांगसमता नियम से) इति सिद्धम्

(ii) ∵ ∆ABD ≅ ∆BAC (सिद्ध कर चुके हैं)
∴ भुजा BD = भुजा AC. (CPCT) इति सिद्धम्

(iii) ∵∆ABD ≅ ∆BAC (सिद्ध कर चुके हैं)
∴ ∠ABD = ∠BAC. (CPCT) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं (देखिए चित्र 7.3)। दर्शाइए कि चित्र CD रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है।

चित्र 7.3
हल:
चित्रानुसार रेखाखण्ड CD, रेखाखण्ड AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
अब ∆OAD और ∆OBC में,
∵ भुजा AD = भुजा BC (दिया है)
∵ ∠OAD = ∠OBC = 90° (दिया है)
∵ ∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∴ ∆OAD ≅ ∆OBC (SAA सर्वांगसमता नियम से)
∴ भुजा OA = भुजा OB (CPCT)
अतः रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
1 और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओंp और का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है। (देखिए चित्र 7.4)। दर्शाइए कि-
∆ABC ≅ ∆CDA है।

चित्र 7.4
हल:
∵l || m को रेखाखण्ड AC क्रमश: A और C बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
∴ ∠ACB = ∠CAD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
∵ p || q को रेखाखण्ड AC क्रमशः A और C बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
∴ ∠CAB = ∠ACD (एकान्तर कोण है)…(2)
अब ∆ABC एवं ∆CDA में,
∵ ∠ACB = ∠CAD [सिद्ध कर चुके हैं समीकरण (1) से]
∵ ∠CAB = ∠ACD [सिद्ध कर चुके हैं समीकरण (2) से]
∵ भुजा AC = भुजा AC (उभयनिष्ठ है)
अतः ∆ABC ≅ ∆CDA. (ASA सर्वांगसमता नियम से) इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिन्दु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिए चित्र 7.5)। दर्शाइए कि
(i) ∆APB ≅ ∆AQB.
(ii) BP = BQ अर्थात् बिन्दु B कोणों की भुजाओं से समदूरस्थ है।

चित्र 7.5
हल:
∵ रेखा l कोण A की समद्विभाजक है। (दिया है)
∴ ∠BAP = ∠BAQ ..(1)
∵ BP L AP एवं BQ LAQ (दिया है)
∵ LAPB = ∠AQB = 90° ….(2)
अब (i) ∆APB और ∆AQB में,
∵ ∠BAP = ∠BAQ [समीकरण (1) से ]
∵ ∠APB = ∠AQB [समीकरण (2) से]
∵ भुजा AB = भुजा AB (उभयनिष्ठ है)
∴ ∆APB ≅ ∆AQB. (SAA सर्वांगसमता नियम से) इति सिद्धम्

एवं (ii) ∵ ΔΡΒΕ ≅ ΔΑΟΒ (सिद्ध कर चुके हैं)
∴ भुजा BP = भुजा BQ (CPCT)
अर्थात् बिन्दु B कोणों की भुजाओं से समदूरस्थ है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
चित्र 7.6 में AC = AE एवं AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।

चित्र 7.6
हल:
चित्रानुसार ΔABC एवं ΔADE में,
∵ भुजा AB = भुजा AD. (दिया है)
∵ ∠BAD = ∠EAC (दिया है)
∵ भुजा AC = भुजा AE (दिया है)
ΔABC ≅ ΔADE (SAS सर्वांगसमता नियम)
अतः भुजा BC = भुजा DE (CPCT) इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न चित्र में AB एक रेखाखण्ड है और Pइसका मध्य-बिन्दु है। D और E रेखाखण्ड AB के एक ही ओर स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB. दर्शाइए कि-
(i) ΔDAP ≅ ΔEBP.
(ii) AD = BE.

चित्र 7.7
हल:
प्रश्नानुसार, AP = BP (दिया है AB का मध्य-बिन्दु P)…(1)
∵ ∠EPA = ∠DPB (दिया है)
⇒ ∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD (यूक्लिड अभिगृहीत-II)
⇒ ∠APD = ∠BPE (चित्रानुसार)…(2)
∵ ∠BAD = ∠ABE (दिया है)
⇒ ∠PAD = ∠PBE (चित्रानुसार) …(3)

(i) अब ΔDAP एवं ΔEBP में,
∵ ∠PAD = ∠PBE [समीकरण (3) से]
∵ AP = BP [समीकरण (1) से]
∵ ∠APD = ∠BPE [समीकरण(2) से]
अतः ΔDAP ≅ ΔEBP (ASA सर्वांगसमता गुण) इति सिद्धम्

(ii) ∵ ΔDAP ≅ ΔEBP [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।
अतः AD = BE. (CPCT) इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज ABC में जिसमें कोण C समकोण है। M कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिला दिया जाता है (संलग्न चित्र देखिए)। D दर्शाइए कि-
(i) ΔAMC ≅ ΔBMD.
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ΔBDC ≅ ΔACB.
(iv) CM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB.

चित्र 7.8
हल:
(i) ΔAMC और ΔBMD में,
∵ AM = BM (दिया है : AB का मध्य-बिन्दु M)
∵ CM = DM (दिया है)
∵∠AMC=∠BMD (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
ΔAMC ≅ ΔBMD. (SAS सर्वांगसमता गुण) इति सिद्धम्

(ii) चूँकि ΔAMC ≅ ΔBMD. (सिद्ध कर चुके हैं।)
⇒ ∠ACM= ∠BDM (CPCT)
⇒ DB || AC (एकान्तर कोण बराबर हैं)
⇒ ∠DBC + ∠ACB = 180° (एक ही ओर के अन्तः कोण हैं)
⇒ ∠DBC + 90° = 180° (∠ACB समकोण है।)
⇒ ∠DBC = 180° – 90° = 90°
अत: ∠DBC एक समकोण है। इति सिद्धम्

(iii) चूँकि ΔAMC ≅ ΔBMD. (सिद्ध कर चुके हैं)
⇒ AC = BD (CPCT)
अब ΔDBC और ΔACB में,
चूँकि BD = AC (सिद्ध कर चुके हैं)
∠DBC = ∠ACB = 90° (सिद्ध कर चुके हैं)
एवं BC = BC (उभयनिष्ठ है)
अतः ΔDBC ≅ ΔACB. इति सिद्धम्

(iv) चूँकि ΔDBC ≅ ΔACB (सिद्ध कर चुके हैं)
⇒ DC = AB (CPCT)
अतः CM = 1/2AB. (CPCT) [∵ CM = DM (दिया है)] इति सिद्धम्

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